Элементы геометрии в начальной школе


Элементы геометрии в начальной школе

1 Краткая характеристика геометрического содержания курса математики начальной школы

2. Геометрические понятия в начальной школе

3. Задания на измерение и вычисление

4. Задания на построение.

1 Краткая характеристика геометрического содержания курса математики начальной школы

странственного воображения у ребенка, умения наблюдать, срав­нивать, обобщать, анализировать и абстрагировать.

содержания образования по математике для начальных классов список изучаемых геометрических понятий значительно расширился по отношению к предыдущим вариантам стабильной программы. Общая тенденция геометризации курса школьной ма­тематики коснулась и начальных классов. В соответствии с этой тенденцией насыщение курса математики начальной школы геометрическим содержанием является перспективной линией развития математического образования начального звена.

Обязательный минимум содержания образования по математике содержит следующий перечень понятий геометрического характера:

Точка. Линии: прямые, кривые. Отрезок. Угол. Прямой угол. Мно­гоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат. Вершины и сто­роны многоугольника. Окружность и круг. Куб. Шар.

Измерение длин.

 

Измерение площади. Вычисление площади прямоугольника.

 

геометрических понятий, чем многие альтернативные учебники развивающих систем.

 

2. Геометрические понятия в начальной школе

 

содержания образования для начальной школы в разделе «Требования к уровню подготовки выпускников начальных клас­сов» (М., 2001).

ся в 1 классе:

. Замкнутая и незамкнутая ломаная. Мно­гоугольники. Треугольники и четырехугольники.

— неопределяемое понятие геометрии. С точкой обычно знакомят методом показа — рисуют или прокалывают стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

методом показа — моделируют из шнура, или рисуют на доске или на листе бумаги

— линия сгиба всегда прямая. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна.

удобно моделировать из шнура. Кривая линия также бесконечна (если она не замкнутая).

— отрезок. Точки соединения концов звеньев называют — вершинами ломаной. Звенья ломаной должны быть соединены последовательно.

В программе 1 класса линии рассматривают только на плоскости. Основные взаимоотношения точки и прямой или кривой линии, с которыми знакомятся дети в 1 классе:

1. Через одну точку можно провести мно

2. Через одну точку можно провести множество кривых.

3. Через две точки можно провести только одну прямую.

4. Через две точки можно провести множество кривых.

Отрезок — часть прямой, заключенная между двумя точками.

Отрезок имеет определенную длину, которую можно измерить.

Линейка — инструмент для измерения длин отрезков.

Ломаная и кривая линии могут быть замкнутыми и незамк­нутыми.

 

Замкнутая ломаная на плоскости ограничивает многоугольник.

 

ломаной.

из трех звеньев. Соответственно имеет три стороны и три вершины.

етыре

й угол. Прямоугольник. Квадрат.

— сумма длин звеньев ломаной. Для нахождения длины ломаной следует измерить длину каждого звена и результаты сложить.

стабильной программе дети не знакомятся с градусной мерой углов, понятие прямого угла дается методом показа:

Для получения модели прямого угла дети используют лист бу­маги, сгибая его соответствующим образом:

 

Прямой угол

 

и построения прямых углов.

 

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы пря­мые. Основное свойство прямоугольника: противолежащие стороны прямоугольника имеют равные длины.

 

модели прямоугольников, совмещая противолежащие сто­роны.

 

длин противолежащих сторон.

же длины, а углы его — прямые.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

по известной длине одной стороны, понимая, что все осталь­ные стороны квадрата имеют такую же длину, а углы его — прямые.

Геометрические понятия, с которыми знакомятся в 3 классе:

Периметр многоугольника. Площадь прямоугольника. Круг. Ок­ружность. Радиус. Диаметр. Треугольники равносторонние, равнобедренные и разносторонние.

В 3 классе дети знакомятся с обозначением фигур заглавными латинскими буквами.

Чтобы назвать отрезок, обозначают точки, которые являются его концами.

Например: отрезок М N. М--------------------------N

Чтобы назвать многоугольник, обозначают буквами его вершины. Например: квадрат АВСD.

Чтобы назвать ломаную, также обозначают буквами ее вершины. Например: ломаная РКЕB.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра многоугольника измеряют длины его сто­рон и складывают полученные результаты.

Периметр квадрата находят умножением на 4 длины его сто­роны, поскольку стороны квадрата имеют равные длины.

сторон, и умножая результат на 2.

мер площади, укладывающихся внутрь фигуры. Стандартные меры площади: мм²; см²; дм²; м²; км².

см².

Инструмент для определения площади всех фигур — палетка.

 

Палетка — лист кальки (или прозрачного пластика), на который нанесена сетка квадратов размером фигур

в измеряемой фигуре. Для получения приближенного значения площади фигуры, число неполных квадратных сантиметров обычно рекомендуется разделить на 2.

площадь прямоугольника, измеряют его длину и ширину (в оди­наковых единицах) и находят произведение полученных чисел.

Например:

части.

 

Решение:

1. Найдем площадь данного листа: 5 см • 3 см = 15 см².

2. Найдем площадь полоски: 3 см • 1 см = 3 см².

3. Найдем разницу площадей: 15 см² - 3 см² =12 см². Используя чертеж, данную задачу можно решить другим спо­собом:

 

Зсм

 

Анализ рисунка сразу показывает, что оставшаяся часть имеет площадь: 3 см • 4 см = 12 см².

 

замкнутой кривой линией. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Граница круга — окружность.

 

определением окружности (множество точек, равноудален­ных от центра), знакомство с окружностью проводят методом по­каза, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности при помощи циркуля. Замкнутая кривая линия, которую рисует грифель циркуля — это окружность. Окружность (круг) имеет центр: точка О -центр окружности (круга).

 

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с какой-нибудь ее точкой. Например: ОМ — радиус окружности (круга). Основное свойство радиусов одной окружности: Радиусы одной окружности (круга) равны.

Диаметр окружности (круга) — отрезок, про­ходящий через центр окружности (круга) и соединяющий две любые ее точки.

Например: диаметр АО.

(круга): Диаметры одной окружности (круга) равны.

Отношения между радиусом и диаметром од­ной окружности (круга): Диаметр равен двум ра­диусам.

 

Треугольники, имеющие стороны разной дли­ны, называют разносторонними.

 

Треугольники, у которых равны две стороны, называют равно­бедренными.

все три стороны. Эти треугольники называют равносторонними.

Геометрические понятия, с которыми дети знакомятся в 4 классе:

Диагонали прямоугольника. Свойства диагоналей прямоугольника.

Луч. Числовой луч.

Угол. Элементы угла. Прямой, острый и тупой угол. Треугольники остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

вершины многоугольника.

С диагоналями прямоугольника детей знакомят методом показа:

Например:

Отрезки АЕ и диагонали прямоугольника АВDС.

Точка — точка пересечения диагоналей.

Основные свойства диагоналей прямоугольника:

Диагон С имеют равные длины.

Отрезки, получаемые при пересечении диагоналей прямоуголь­ника, равны.

 

длин соответствующих отрезков.

пересекаются под прямым углом.

Например:

угольника показывает, что углы, получаю­щиеся при пересечении диагоналей квадрата, прямые.

 

Луч — часть прямой, ограниченная с одной стороны.

 

Луч имеет начало, но не имеет конца. Изображение луча:

 

Точка — начало луча.

 

С:

 

числа. Расстояние между точками равно 1 единице измерения (единичный отрезок), которая задается условно. Чаще всего это 1 или 2 клетки.

 

Каждой точке ставится в соответствие число, начиная с числа 1. Началу луча ставится в соответствие число 0.

 

приемы присчитывания и отсчитывания по частям с опо­рой на числовой луч. В связи с этим некоторые альтернативные учебники (Н.Б. Истомина) знакомят детей с этим понятием еще в 1 классе.

 

Другая роль числового луча состоит в том, что используя это понятие, можно познакомить детей с прямоугольной системой ко­ординат (числовой или координатный угол), отрицательными чис­лами (числовая прямая).

 

Например:

 

Объясни с помощью числового луча, в какую сторону от точки, соответствующей точке 8, надо двигаться, чтобы найти все числа, которые меньше числа 8, и те числа, которые боль­ше, чем 8.

 

 

 

 

 

Ответ: Чтобы найти все числа, которые меньше, чем 8, нужно двигаться влево от числа 8. Чтобы найти числа, которые больше, чем число 8, нужно двигаться от него вправо.

 

начало.

 

Стороны угла — это лучи, образующие угол.

 

Вершина угла — это общее начало лучей, образующих угол.

 

Обозначение угла: угол может быть назван по его вершине -угол М; угол может быть назван тремя буквами — угол МАР, при этом буква, стоящая в вершине угла, должна быть средней.

Например:

Остроугольный треугольник — треугольник, все углы которого острые.

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол. Например:

прямого угла.

тупого угла.

Равносторонний треугольник может быть только остро­угольным.

Прямоугольный и тупоугольный треугольники могут быть рав­нобедренными.

 

Разносторонними могут быть и остроугольный, и прямоуголь­ный, и тупоугольный треугольники.

 

3. Задания на измерение и вычисление

 

практического характера.

 

Рассмотрим виды заданий на измерение и вычисление по годам обучения.

 

1 класс 1. Сравни длину полосок с помощью одинаковых мерок.

 

 

 

Выполнение:

 

Заданную мерку ребенок укладывает по длине каждого отрез­ка, считая их. Если отрезок содержит большее количество мерок, значит он длиннее.

 

 

 

Выполнение:

 

Используя данную мерную полоску, ребенок прикладывает ее к каждому отрезку, отмечая количество уложившихся мерок. Равные отрезки содержат равное количество мерок.

 

3. Саша начертил отрезок длиной 6 см. Аня продолжила этот отрезок на 1 см. Какой длины получился отрезок? Начерти его.

 

Выполнение: Ребенок чертит по линейке отрезок длиной 6 см. Затем продолжает его на 1 см и измеряет весь получившийся отрезок (7 см).

 

4. Узнай длину этих отрезков в сантиметрах. Начерти в тетради отрезки такой же длины.

 

Выполнение:

 

Каждый отрезок измеряется с помощью линейки. В тетради ребенок чертит отрезки такой же длины (столько же сантиметров).

 

5. Чему равна длина каждой стороны треугольника и каждой стороны квадрата?

 

 

 

 

 

Выполнение:

 

Зная свойство квадрата, ребенок измеряет длину только одной стороны. Остальные стороны имеют такую же длину.

 

Стороны треугольника можно сначала сравнить с помощью циркуля — они равны (треугольник равносторонний), значит, можно измерить только одну сторону — остальные стороны имеют такую же длину.

 

6. На сколько сантиметров длина одного отрезка больше длины другого?

 

 

 

Выполнение:

 

Возможны два способа выполнения:

 

1. Длина каждого отрезка измеряется и вычисляется разница длин в сантиметрах.

 

2. С помощью циркуля меньший отрезок откладывается на большем, а затем разница длин измеряется.

 

7. Измерь длину и ширину обложки учебника в сантиметрах. Сколько это дециметров и сантиметров?

 

Выполнение:

 

Линейные размеры учебника измеряются линейкой в сантимет­рах, а затем сантиметры выражаются в дециметрах и сантиметрах, например:

 

1 см

 

8. Начерти в тетради такую ломаную. Узнай длину каждого звена ломаной и найди сумму длин всех ее звеньев.

 

 

 

Выполнение:

 

Рисунок ломаной дан в учебнике на клетчатой поверхности. Используя подсчет клеточек, ребенок копирует рисунок в тетрадь. Затем измеряет длину каждого звена и вычисляет их сумму.

 

2 класс

 

1. Начерти отрезок длиной 10 см. Поставь на нем точку так, чтобы получился отрезок длиной 4 см. Узнай длину второго отрезка. Сравни длины полученных отрезков.

 

Выполнение:

 

Ребенок чертит отрезок длиной 10 см. От любого края отмеряет 4 см и ставит точку — получился отрезок длиной 4 см. Измеряет длину второго отрезка — 6 см (или вычисляет ее: 10 см - 4 см = 6 см). Разницу длин находит вычислением: 6 см - 4 см = 2 см.

 

в нем один отрезок, чтобы получился квадрат.

 

Выполнение:

 

Ребенок чертит прямоугольник со сторонами 1 см и 6 см.

 

верти­кальный отрезок, следя за тем, чтобы он пересек стороны прямо­угольника под прямым углом.

 

3. Начерти несколько ломаных из двух звеньев так, чтобы длина каждой ломаной была равна 11 см.

 

Выполнение:

 

длины звеньев.

 

равна длине ломаной.

 

Выполнение:

 

Ломаная с соответствующими длинами звеньев вычерчивается произвольно. Найти длину ломаной можно двумя способами:

 

1. Вычислив сумму длин отрезков: 2 см + 3 см + 4 см + 2 см = 11 см. Затем начертить этот отрезок.

 

длине ломаной.

 

3 класс

 

1. Измерь стороны треугольника ОМК(в миллиметрах) и уз­най, на сколько миллиметров сумма длин отрезков ОК и ОМ больше длины отрезка КМ.

 

 

 

Выполнение:

 

и ОМ. Затем вычисляет разницу этой суммы и длины отрезка КМ.

 

так, чтобы длина отрезка АС была равна 15 мм. Узнай длину отрезка СВ, не измеряя его.

 

Выполнение:

 

находит вычислением: 60 мм - 15 мм = 45 мм

 

 

 

Выполнение:

 

циркуля, можно измерить одну сторону, а затем умножить ее длину на 5.

 

4. Чему равна сторона квадрата, если его периметр равен периметру прямоугольника со сторонами 5 см и 3 см?

 

Выполнение:

 

Вычисляется периметр прямоугольника: (5 см + 3 см) • 2 = 16 см.

 

Этот периметр равен периметру квадрата. Поскольку у квадрата

 

все стороны равны, значит, сторона квадрата равна: 16 см: 4 см = 4 см.

 

5. Начерти два отрезка так, чтобы длина одного была 4 см, а длина другого — в 2 раза больше. Обозначь отрезки бук­вами и узнай, на сколько сантиметров один из них меньше другого.

 

Выполнение:

 

Вычерчивается отрезок длиной 4 см. Длина другого 4 см • 2 = 8 см. Разницу длин находят вычислением 8 см - 4 см = 4 см.

 

 

 

9 см и 2 см.

 

Выполнение:

 

Площадь прямоугольника находится как произведение длин сторон. Значит 9 см • 2 см = 18 см².

 

7. Найди длину стороны квадрата АВСО, периметр которого 8 см. Начерти его и вычисли площадь.

 

Выполнение:

 

Периметр квадрата — это сумма длин всех его сторон, значит одна сторона квадрата 8 см: 4 = 2 см (поскольку стороны квадрата имеют равные длины). Площадь квадрата — это произведение длин его сторон: 2 см • 2 см = 4 см².

 

8. Измерь радиус данной окружности и начерти окружность такого же радиуса. Выполнение:

 

и вычерчиваем окружность такого же радиуса.

 

9. Начерти три отрезка: длина первого отрезка 8 см, длина второго составляет одну четвертую длины первого, а длина третьего на 6 см больше длины второго.

 

Выполнение:

 

Первый отрезок вычерчивается по заданной длине. Длина вто­рого сначала вычисляется: 8 см 4 = 2 см. Длина третьего отрезка также сначала вычисляется: 2 см + 6 см = 8 см.

 

со сторонами 2 см и 8 см. Найди периметр этого квадрата.

 

Выполнение:

 

1. Вычислим площадь прямоугольника: 2 см • 8 см = 16 см2.

 

2. Эта площадь равна площади квадрата. Площадь квадрата равна произведению длин его сторон, значит, нужно подобрать число, произведение которого на само себя равно 16 — это число 4. Длина стороны квадрата 4 см. Периметр квадрата 4 см • 4 = 16 см.

 

11. Периметр равностороннего треугольника 24 см. Чему равна длина каждой его стороны?

 

Выполнение:

 

Равносторонний треугольник имеет стороны равной длины, значит 24 см 3 = 8 см — длина стороны треугольника.

 

12. Из трех одинаковых квадратов составили прямоугольник. Узнай периметр этого прямоугольника, если сторона каждого квадрата равна 16 мм.

 

Узнай сторону квадрата, периметр которого равен периметру этого прямоугольника.

 

Выполнение:

 

Для решения этой задачи удобно выполнить рабочий рисунок (примерный):

 

Анализ рисунка показывает, что для нахождения периметра прямоугольника нужно 16 мм • 8 = 128 мм.

Если считать это число периметром квадрата, можно определить длину его стороны: 128 мм 4 = 32 мм.

4 класс

1. Начерти луч с началом в точке К. Отложи на нем от его начала один за другим несколько отрезков длиной по 15 мм. Отметь на луче точки А, В, С, соответствующие числам 4, б, 8. Найди длины отрезков КА, КВ, АС, ВС.

Выполнение:

 

Выполнять задание следует по чертежу:

 

По рисунку определяем длины отрезков:

 

КА — 4 единицы по 15 мм,

 

КА = 15 мм • 4 = 60 мм.

 

КВ — 6 единиц по 15 мм, КВ = 15 мм • 6 = 90 мм.

 

АС — 4 единицы по 15 мм, АС = 15 мм • 4 = 60 мм.

 

ВС — 2 единицы по 15 мм, ВС = 15 мм • 2 = 30 мм.

 

2. Начерти отрезок длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?

 

Выполнение:

 

Находим длину одной шестой доли отрезка: 60 мм 6 = 10 мм

 

Находим длину пяти шестых долей отрезка: 10 мм • 5 = 50 мм

 

 

 

 

 

3. Рассмотри чертеж и объясни, как найти площадь треугольника АСВ.

 

Выполнение:

 

Треугольник АСП состоит из двух треугольников: АПК и АСК.

 

Треугольник АПК составляет половину квадрата ОМАК, значит, его площадь равна половине этого квадрата.

 

Треугольник АСК составляет половину прямоугольника АВСК, значит, его площадь равна половине площади этого прямоугольника.

 

треугольника Л О? составляет половину площади прямоуголь­ника ОМВС.

 

пополам.

 

4. Начерти два отрезка. Длина первого 8 см. Это в 2 раза больше длины второго отрезка. На сколько сантиметров дли­на первого отрезка больше длины второго?

 

Выполнение:

 

2 = 4 см.

 

и найди площадь каждого из них.

 

Выполнение:

 

Для нахождения площади искомого треугольника нужно сначала найти площадь квадрата 8 см • 8 см = 64 см2, а затем разделить ее на 4, поскольку все треугольники равные 64 см2:4 = 16 см2.

 

6. Длина прямоугольника 8 см, его периметр 24 см. Начерти такой прямоугольник, раздели его на два равных треугольника. Какие получились треугольники: остроугольные, тупоугольные или прямоугольные? Найди площадь каждого треугольника.

 

 

 

Выполнение:

 

Для того чтобы начертить такой прямоугольник, нужно знать длину его второй стороны.

 

 

 

8 см

 

Сумма длин двух сторон 8 см + 8 см = 16 см, значит сумма двух других сторон 24 см - 16 см = 8 см. Стороны равной длины, значит, 8 см 2 = 4 см — длина другой стороны (ширина). Теперь прямоугольник можно построить.

 

Разделив его на два равных треугольника диагональю, получаем прямоугольные треугольники. Чтобы найти площадь одного из них, разделим площадь прямоугольника пополам:

 

8 • 4 = 32 см2; 32 см2: 2 = 16 см2

 

7. Найди диаметр большего круга, если радиус меньшего равен 1 см.

 

Выполнение:

 

• Если радиус меньшего круга равен 1 см, то его диаметр будет равен 2 см, поскольку диаметр круга равен двум радиусам.

 

Анализ рисунка показывает, что диаметр меньшего круга равен радиусу большего круга. Значит, радиус большего круга равен 2 см, тогда его диаметр равен 4 см.

 

8. Начерти любую окружность. Проведи в ней два любых диаметра, соедини их концы отрезками и найди площадь полученного прямоугольника.

 

Выполнение:

 

и находится площадь по формуле: площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

 

4. Задания на построение

 

Задания на построение составляют важную часть системы формирования геометрических знаний и умений ребенка в начальной школе. Эти задания создают базу для развития пространственного воображения у ребенка, умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать и абстрагировать. Необходимость формирования

 

 

 

школе.

 

Рассмотрим виды заданий на построение по годам обучения и покажем возможности их использования для развития указанных компонентов мышления.

 

1 класс

 

1. Начерти в тетради ломаную, состоящую из четырех звеньев. Сколько вершин у этой ломаной?

 

Выполнение:

 

По определению, концы каждого звена — это вершины ломаной. Таким образом, ломаная из 4 звеньев будет иметь 5 вершин.

 

 

 

2. Вырежи из приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку (по рисунку, данному в учебнике).

 

 

 

Выполнение:

 

Задания такого вида представляют собой конструктивные задачи на развитие операции синтеза (конструирование целого из частей). В учебнике эти задания встречаются вплоть до 4 класса, но особенно важны они в 1 классе. Если у ребенка возникают затруднения, следует сделать для него увеличенный вариант рисунка, чтобы можно было складывать заданную фигуру, накладывая ее части прямо на рисунок.

 

Эти задания являются подготовительными для заданий вида: сколько на чертеже треугольников, четырехугольников и т. п.

 

вида даются ребенку намного легче.

 

3. Начерти один четырехугольник. Проведи 1 отрезок, что­бы получилось 2 треугольника.

 

Выполнение:

 

При выполнении данного задания полезно рассмотреть разные варианты его выполнения — это развивает гибкость мышления и пространственное воображение. Полезно сравнить полученные результаты, сделав обобщение: для того чтобы получилось 2 тре­угольника, нужно проводить в четырехугольнике диагональ.

 

 

 

4. Как можно провести в треугольнике 1 отрезок так, чтобы получилось 3 треугольника? Выполнение:

 

 

 

Достаточно провести 1 отрезок так, чтобы разделить данный треугольник на 2 треугольника. В качестве третьего рассматриваем исходный треугольник (содержащий два меньших).

 

5. Составь из 7 палочек 2 одинаковых квадрата, а из 10 палочек 1 большой квадрат и 1 маленький.

 

Выполнение:

 

Задание на конструирование из палочек (см. характеристику задания 2).

 

 

 

— у которой 4 звена и 4 вершины.

 

Выполнение:

 

См. характеристику задания 1.

 

7. Начерти любой четырехугольник и проведи в нем 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

 

Выполнение:

 

При выполнении данного задания полезно рассмотреть разные варианты его выполнения — это развивает гибкость мышления и пространственное воображение. Полезно сравнить полученные результаты, сделав обобщение: для того, чтобы получилось 8 треугольников, нужно проводить в четырехугольнике две диагонали.

 

 

 

Каждый четырехугольник содержит 4 маленьких треугольника, а также 4 треугольника, составленных из двух расположенных рядом маленьких треугольников.

 

2 класс

 

1. Проведи прямую, отметь на ней 3 точки. Сколько всего отрезков получилось?

 

Выполнение: ---------•----------•------------------•—

 

Задание аналитического характера: всего отрезков три: два меньших, обозначенных точками, и в качестве третьего рассматриваем отрезок, содержащий оба меньших отрезка (фактически: два отрезка являются частями третьего).

 

2. Начерти и дополни до прямоугольника:

 

 

 

Выполнение:

 

Задание развивает воссоздающее воображение, требует воссоздания целого по его частям. Поскольку в учебнике эти задания даны на клетчатой основе, их выполнение не требует применения инструментов при построении, достаточно производить ориентировку на количество клеточек, восстанавливая форму заданной фигуры.

 

3. Как провести в каждом из этих четырехугольников 1 отрезок, чтобы получился квадрат?

 

 

 

Выполнение:

 

части из целого. Оно также дано в учебнике на клетчатой основе, поэтому не требует применения инструментов. Для его выполнения достаточно ориентировки по клеточкам и соблюдения равенства сторон квадрата.

 

4. Сложи из треугольников нарисованные фигуры (по рисунку в учебнике).

 

Выполнение:

 

См. выше характеристику задания 2 из 1 класса.

 

3 класс

 

1. Начерти два отрезка так, чтобы длина одного была в два раза больше длины данного отрезка, а длина другого — в 2 раза меньше длины данного.

 

Выполнение:

 

Чтобы начертить отрезок в 2 раза больше данного, можно измерить его циркулем, и отложить на прямой последовательно два таких отрезка:

 

Полученный таким образом отрезок будет в два раза больше дан­ного.

 

по известной длине.

 

 

 

Можно познакомить ребенка с техникой деления отрезка пополам с помощью циркуля:

 

2. Начерти на клетчатой бумаге и вырежи прямоугольник и два треугольника, как на чертеже.

 

Составь из этих фигур: четырехугольник, пятиугольник. Сравни площади составленных фигур.

 

 

 

Выполнение:

 

Задание конструктивного характера. Цель задания — показать ребенку, что равносоставленные фигуры имеют равные площади. Полезно составить различные по форме четырехугольники и убедиться в том, что пятиугольник получается только одной формы:

 

 

 

3. Начерти три таких четырехугольника. В каждом из них проведи один отрезок так, чтобы он разделил четырехугольник:

 

1) на два треугольника;

 

2) на треугольник и прямоугольник;

 

3) на квадрат и четырехугольник.

 

Выполнение:

 

См. характеристику задания 3 из 2 класса.

 

 

 

4. Начерти в тетради пятиугольник и покажи на чертеже, как можно двумя взмахами ножниц разрезать этот пятиугольник так, чтобы получилось 2 четырехугольника и 1 треугольник.

 

Выполнение:

 

Полезно рассмотреть разные варианты выполнения задания:

 

 

 

5. Начерти в тетради любую фигуру, кроме прямоугольника, так, чтобы ее площадь была 12 см2.

 

Выполнение:

 

По условию фигура не может быть прямоугольником (а значит, и квадратом). Площади фигур другой формы ученики 3 класса умеют находить только способом подсчета квадратных сантиметров. Значит, следует рисовать фигуру произвольной формы, состав­ленную из квадратиков по 1 см².

 

Другой, более сложный вариант: начертить прямоугольник площадью 24 см2 см².

 

4 класс

 

1. Начерти в тетради прямой, острый и тупой углы с общей вершиной в точке разными цветными карандашами. Выполнение:

 

угла:

 

 

 

2. Начерти в тетради четырехугольник АВСО, как на рисунке. Проведи в нем отрезок ВМ так, чтобы угол ВМС был прямым.

 

 

 

Выполнение:

 

Для выполнения задания фактически требуется умение опускать перпендикуляр из точки на прямую, однако здесь предполагается, что ребенок, используя угольник, ищет позицию совмещения его сторон с отрезком СО и точкой В.

 

3. Начерти отрезки, как показано на чертеже. Соедини точки так, чтобы получился четырехугольник. Проверь, квадрат ли это.

 

Выполнение:

 

Рисунок в учебнике дан на клетчатой основе, поэтому его копирование требует только подсчета клеток. Получившаяся фигура будет квадратом. Задание иллюстрирует свойство диагоналей квадрата: диагонали квадрата при пересечении образуют прямой угол и делятся в точке пересечения пополам.

 

4. Рассмотри чертеж и начерти в тетради квадрат, диагональ которого равна 4 см. Проведи окружность так, чтобы она прошла через все вершины квадрата.

 

Выполнение:

 

Задание, аналогичное заданию 3 с добавлением заданной длины диагонали. Выполняется на основе подсчета клеток и свойств диагоналей квадрата. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром описанной (и вписанной) окружности.

 

получился?

 

Выполнение:

 

Получится прямоугольный треугольник. Задание иллюстрирует свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

 

сторонах угла равные отрезки ОА и ОВ длиной по 3 см. Соедини отрезком точки Аи В., Какого вида треугольник получился? Дай два ответа.

 

Выполнение:

 

Получится равнобедренный треугольник, который также является прямоугольным.

 

 

 

 

 

7. Начерти разносторонний прямоугольный треугольник; равнобедренный тупоугольный треугольник.

 

Выполнение:

 

Задание проверяет умение ребенка соблюдать два заданных признака при выполнении чертежа:

 

 

 

Следует обратить внимание на то, что построение равнобедренного тупоугольного треугольника требует также знания способа построения равнобедренных треугольников.

 

8. Начерти любой прямоугольник, проведи в нем диагонали. Построй окружность с центром в точке их пересечения, которая проходит через все его вершины. (На полях дан полный чертеж.)

 

Выполнение:

 

Поскольку в учебнике дан на полях полный чертеж задания, оно требует лишь копирования образца.

 

Задание иллюстрирует следующее свойство прямоугольника: точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности.

 

9. Начерти в тетради прямоугольник АВСО со сторонами 3 см и 4 см. Проведи в нем 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

 

Выполнение: См. характеристику задания 7 из 1 класса.

 

10. Построить равносторонний треугольник.

 

Выполнение:

 

В учебнике приведен полный чертеж, требуется лишь копирование образца.

 

11. Построить равнобедренный треугольник.

 

Выполнение:

 

См. характеристику задания 10.

 

12. Построить треугольник по трем заданным сторонам.

 

Выполнение:

 

См. характеристику задания 10.

 

13. Раздели отрезок пополам с помощью циркуля.

 

Выполнение:

 

См. характеристику задания 10.

 

Сравнение количества и качества заданий на построение и заданий на измерение и вычисление показывает, что заданиям на измерение и вычисление уделено в учебниках намного больше внимания. С качественной (а также перспективной) точки зрения, в дальнейшем ребенку будут необходимы в большей мере умения по построению и доказательству правильности построения, поскольку они лежат в основе умения решать задачи и доказывать теоремы в курсе геометрии и выполнять чертежи в курсе черчения.

 

Приложение 2.

 

Реализация проблемного подхода при изучении геометрического материала

 

Знакомство с геометрическими фигурами и телами происходит на первых же уроках, где эти фигуры используются в качестве объектов счета предметов. В дальнейшем, согласно программе того или иного года обучения, даются описания или простейшие определения геометрических понятий.

 

Каждое геометрическое понятие должно быть правильно воспринято и осмысленно усвоено на уроке всеми учащимися. Одним из эффективных средств для достижения этой цели является использование проблемного подхода, который заключается в создании перед учащимися проблемных ситуаций, их осознании, принятии и разрешении в процессе взаимодействия учителя и учащихся при максимальной самостоятельности последних. Выбор способа создания проблемной ситуации зависит в первую очередь от приема раскрытия содержания понятий, от уровня их изучения и от педагогического мастерства учителя.

 

особенности учащихся. Особенно важно, чтобы предлагаемый материал находился в зоне ближайшего развития ученика, так как, по мнению крупнейшего специалиста по проблемным ситуациям в мышлении и обучении А.М. Матюшкина, «процесс мышления возникает лишь при определенной степени рассогласования между усвоенными и усваиваемыми знаниями, соответствующей некоторой единице, определяемой творческими возможностями и уровнем развития субъекта. Собственно, только в этом относительно узком диапазоне рассогласования и возможен процесс мышления, приводящий к выявлению неизвестного в возникающей проблемной ситуации» [3].

 

Опираясь на эти требования, учитель при планировании урока должен разумно сочетать наглядность, проблемные вопросы и задания, проблемный диалог, чтобы каждый ученик включился в самостоятельную поисковую деятельность по решению проблем и «открытию понятий».

 

Использование проблемного диалога на уроках математики, как и другие формы обучения, требует от его участников определенного опыта. Для введения учащихся в ситуацию диалога рекомендуем учителям использовать такие элементы как:

 

– диагностика готовности учащихся к диалогическому общению;

 

– наличие базовых знаний;

 

и восприятие иных точек зрения;

 

– поиск опорных мотивов, т.е. тех волнующих учащихся начальных классов вопросов и проблем, благодаря которым может сложиться собственное осмысление изучаемого материала;

 

– переработка учебного материала в систему проблемно - конфликтных вопросов и заданий (задач);

 

– проработка различных возможных вариантов развития сюжетных линий диалога;

 

– проектирование способов взаимодействия младших школьников, их участия в дискуссии, их возможных ролей;

 

– гипотетическое выявление зон импровизации, т.е. таких суждений в диалоге, которые трудно заранее предусмотреть.

 

Особое значение для диалогического общения имеет умение учителя задавать вопросы.

 

Как мы знаем, вопросы могут формулироваться по_разному. Сравним несколько вариантов постановки вопроса, которые требуют от ученика начальных классов знаний понятия «равнобедренный треугольник»:

 

2) Какой треугольник называется равнобедренным?

 

3) Какие условия необходимы, чтобы треугольник был равнобедренным?

 

4) На каком основании можно сделать вывод, что треугольник является равнобедренным?

 

треугольника, а третий и четвертый вопросы, названные нами проблемными, стимулируют ребенка к размышлению, анализу, выбору вариантов ответа, доказательству, а также дают возможность другим ученикам участвовать в дискуссии.

 

Выделим некоторые требования, которые помогут учителям в овладении умением задавать ученикам корректные вопросы.

 

1. Вопросы должны быть поставлены ясно и четко.

 

2. Поиск ответа должен вызвать у ученика определенное умственное усилие и желание высказать собственное мнение.

 

3. Вопросы того или иного этапа урока должны быть выстроены в строгой последовательности и соответствовать определенной системе.

 

4. Ценность вопроса возрастает, ког-

 

Рис. 1

 

 

 

да он сопровождается эмоциональной окраской или наглядным материалом.

 

Поясним сказанное на примере ознакомления учеников начальных классов с понятиями «круг» и «окружность», когда учитель задает классу репродуктивные и проблемные вопросы, выстроенные в строгой логической последовательности.

 

На доске нарисованы различные фигуры (см. рис. 1).

 

Вопросы и задания ученикам:

 

1) Какие из нарисованных на доске фигур можно назвать линиями? (Все.)

 

2) Уточните, какие из нарисованных на доске линий являются ломаными, а какие – кривыми? (2, 4 – ломаные линии; 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 – кривые.)

 

3) Разделите кривые линии на две группы: замкнутые и незамкнутые. Какие фигуры окажутся в первой группе, а какие – во второй? (Замкнтые кривые линии – 3, 6, 7, 8; незамкнутые – 1, 5, 9.)

 

до точек А, В, С, D не одинаковые, а в фигурах 3 и 8 – одинаковые.)

 

5) К доске приглашаются три ученика, которым предстоит убедить класс в том, что расстояния от точки до точекА, В, С, D в фигурах 3 и 8 одинаковые, а в фигуре 6 – разные, измерив эти расстояния при помощи линейки или циркуля.

 

6) Остальные ученики класса сравнивают фигуры 6 и 8. (Сходство: замкнутые кривые линии имеют внутри точку, отмеченную буквой до точек А, В, С, D в фигуре 6 – разные, в фигуре 8– одинаковые.)

 

7) Как вы думаете, почему фигура 8 является окружностью, а фигура 6 не является окружностью? (Потому что в фигуре 8 расстояния от точки до точек А, В, С, D, а также а в фигуре 6 – разные.)

 

8) Назовите существенные признаки окружности. (Это кривая замкнутая линия; расстояния от точки О, называемой центром, до всех точек на окружности одинаковые.)

 

Фигуры 9 и 5 не являются замкнутыми кривыми, а фигура 7 не имеет центра, расстояния от которого до всех точек фигуры были бы одинаковыми.)

 

10) Чем отличаются окружности 3 и 8? (Расстоянием от точки до точек на окружности.)

 

11) Если мы отметим любую другую точку на окружности 8 и измерим расстояние от точки до точекА, В, С, D?(Да.)

 

12) Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности называется радиусом и обычно обозначается латинской буквойR.

 

Используя циркуль, постройте в тетрадях две окружности с одинаковым радиусом, равным 2 см.

 

13) Закрасьте ту часть тетрадного листа, которая ограничена первой окружностью. (Пока ученики выполняют это задание, учитель вывешивает на доске большой лист бумаги с таким же рисунком, как у учеников.)

 

14) Как вы думаете, чем можно объяснить, что первая фигура называется кругом, а не окружностью? (Первая фигура закрашена, т.е. ей принадлежат все точки, находящиеся внутри этой фигуры, и она называется кругом.)

 

16) Чем отличается круг от окружности?

 

17) Послушайте стихотворение и постарайтесь разрешить спор, возникший между кругом и окружностью:

 

Рис. 2

 

 

 

Встретились окружность с кругом,

 

Спорить стали вот о чем:

 

Кто главнее всех в округе?

 

Кто сначала, кто потом?

 

Круг сказал, что он главнее:

 

«Я большой и, посмотри,

 

Весь заполнен в середине,

 

И по краю, и внутри».

 

Тут воскликнула окружность:

 

«Жить не сможешь без меня!

 

А граница я твоя!»

Долго спорили фигуры,

Кто из них кого главней,

И соседей опросили, И знакомых, и друзей.

 

Но закончить этот спор

 

Не смогли и до сих пор,

 

В чью же пользу и без ссор

 

Разрешится этот спор?

 

(Ученики высказывают свои мнения о том, какую фигуру они считают «главнее».)

 

17) Какие знакомые вам предметы имеют форму круга, а какие – форму окружности?

 

На этапе знакомства с новыми геометрическими понятиями можно использовать в основном проблемные вопросы и задания. Их выполнение должно осуществляться в ходе совместной деятельности учителя и учащихся, в процессе анализа и сопоставления различных суждений, точек зрения, выделяющих существенные признаки изучаемых геометрических фигур.

 

творческие, эвристические. Именно такие проблемные задания творческого характера помогают ученикам осмыслить учебный материал, закрепить полученные знания, научиться применять их в новой ситуации. Приведем несколько таких заданий, которые можно предложить ученикам на том же уроке по теме «Круг и окружность»:

 

1. Не нарушая закономерностей, нарисуй радиусы в последних окружности

 

 

 

2. Работа в парах.

 

Ученики, сидящие за одной партой, составляют «словесный портрет» круга и окружности и читают друг другу.

 

3. Как чертили в старину.

 

Ученикам предлагается представить, что они попали в далекое прошлое и им нужно нарисовать окружность при условии, что циркуль еще не изобрели.

 

4. Математическое исследование.

 

Ученикам предлагается выступить в роли ученых исследователей. Нужно соединить отрезком две точки окружности таким образом, чтобы данный отрезок проходил и через центр окружности. Написать выражение, по которому можно найти длину этого отрезка, если известен радиус окружности.

 

5. Составь загадку о круге, об окружности.

 

6. Геометрические орнаменты (рис. 4).

 

а) Раскрась цветными карандашами орнаменты.

 

б) Придумай свой орнамент, где использовались бы круги, окружности или их части

 

 

 

7. Рассмотри пары окружностей и начерти такие же. Как они расположены относительно друг друга? Обозначь буквами общие точки окружностей.

 

 

 

8. Начерти окружность и прямую.

 

Как они могут располагаться относительно друг друга? Начерти различные случаи.

 

9. На окружности отметили три точки и соединили их отрезками. Начерти такую фигуру. У тебя получился треугольник, вписанный в окружность. Все его вершины лежат на окружности. Начерти вписанный в окружность четырехугольник, пятиугольник.

 

, В, С, D?

 

 

 

11. Конкурс рисунков.

 

образ. Готовые работы дети комментируют, обсуждают.

 

12. Сад окружностей и кругов.

 

С помощью кругов и окружностей ученики должны нарисовать сказочный сад.

 

На выполнение некоторых из этих творческих заданий потребуется немалое время, поэтому можно предложить закончить их дома или даже выполнить дома полностью.

 

Составляя и включая в свои уроки подобные проблемные задания, учитель должен иметь в виду то обстоятельство, что мыслительная активность ученика определяется не только характером и содержанием задания, но и индивидуальными творческими возможностями ученика и его подготовкой.

 

Широко используются в начальных классах и другие проблемные задания с геометрическим материалом, которые развивают у младших школьников воображение, речь и мышление, формируют практические умения и навыки. Это задания на:

 

– классификацию геометрических фигур;

 

– деление фигур на части;

 

– составление геометрических фигур заданной формы из других геометрических фигур;

 

– вычленение фигур и тел на чертеже сложной конфигурации;

 

– распознавание знакомых фигур и тел в окружающей обстановке;

 

– определение геометрических форм предметов и их частей и др.

 

Использование проблемного подхода при изучении геометрического материала создает благоприятные условия для развития у младших школьников познавательных интересов, формирует у них стремление к размышлению, самостоятельному творчеству и способствует сознательному усвоению геометрических понятий.

 

Приложение 1

 

Традиционные и интегрированные программы с использованием геометрического материала в начальной школе

 

Геометрический материал представлен в программе для каждого класса. Круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно. Это - точка линии (кривая, прямая, отрезок, ломаная), многоугольники различных видов и их элементы, круг, окружность и другие. При формировании представлений о фигурах большое значение придается проведению практических упражнений, связанных с построением, вычерчиванием и преобразованием одних фигур в другие, с рассмотрением некоторых свойств изучаемых фигур.

 

(Например: свойств диагоналей, прямоугольника и квадрата), упражнения, направленные на развитие геометрической зоркости (умение узнавать геометрические фигуры на сложном чертеже), составлять заданные геометрические фигуры из частей, разделять фигуры на заданные части и другие.

 

Работа с геометрическим материалом по возможности увязывается и с изучением арифметических вопросов (например: геометрические фигуры используются в качестве объектов счета предметов). После ознакомления с измерением длины отрезка решаются задачи на нахождение суммы и разности двух отрезков, длины ломаной, периметра многоугольника и в том числе прямоугольника (квадрата), а в дальнейшем и площади прямоугольника (квадрата). Различные геометрические фигуры (отрезки, многоугольники, круг) используются и в качестве наглядной основы при формировании представлений о долях величины, а также при решении разного рода текстовых задач (схематические чертежи).

 

Трудно переоценить значение такой работы в деле развития как конкретного, так и абстрактного мышления у детей. Что касается пространственного мышления, развития логики ребенка, то в этой программе из-за специфики методики преподавания (в которой ученик - объект обучения). У детей не формируются умения самостоятельно распознавать, классифицировать предложенные геометрические фигуры, определять пространственные отношения между объектами. А так же в этой программе упущен важный в формировании пространственного мышления пласт - стереометрические фигуры.[Моро]

 

Геометрический материал не выделен в программе математики в виде отдельной темы. Он изучается небольшими порциями параллельно с арифметическим материалом. Также геометрический материал используется часто в качестве средств наглядности при рассмотрении некоторых вопросов, а также - как средство применения знаний.

 

первые построения геометрических фигур выполняются по образцу. Рассмотрев конкретную геометрическую фигуру, выделив ее признаки, детям даются задания начертить такую фигуру, как на доске, как в учебнике, причем даются соответствующие ориентиры. Например, для треугольника: поставьте три точки и соедините их. В геометрических же задачах на построение обращается внимание на размеры и форму. При решении задач на построение необходимо выполнить этапы: анализ, построение, доказательство, исследование. В начальной школе эти этапы в неявной форме присутствуют, но в разных сочетаниях и в разном количестве. Например. Задание: Начерти такой треугольник (дан образец), проведи один отрезок так, чтобы получилось 2 треугольника. 1 этап - анализ, 2 этап - построение, 3 этап - исследование.

 

Задание: Начертите прямой угол. 1 этап - построение, 2 этап - доказательство с помощью модели прямого угла. Определения детям не даются. Например: Понятие отрезок. Детям дается задание поставить 2 точки и соединить их под линейку. Это отрезок, он имеет начало и конец. В качестве геометрических величин рассматриваются длина и площадь.

 

Подходы к изучению величин: 1) выявление представлений детей о данной величине и рассмотрение способов сравнения данной величины: на глаз, наложением с помощью приложения (с основой на жизненный опыт учащихся). Объекты также сравниваются по длине, используя условные мерки: части нашего тела, другие предметы. 2) знакомство детей с сантиметром путем организации работы учеников с моделью сантиметра. 3) формирование измерительных умений, решение измерительных задач; также текстовых задач, связанных с измерениями; 4) знакомство с новыми единицами измерения.[пышкало ]

 

другой подход к изложению и изучению геометрического материала. Особенность изучения геометрических понятий в этой программе - их раннее введение на основе построенной системы начальных математических понятий. При этом на первых порах основное внимание уделяется формированию пространственных представлений, развитию речи и практических навыков черчения. С самых первых уроков первого класса учащиеся знакомятся с геометрическими фигурами: квадратом, прямоугольником, треугольником и кругом.

 

но и мотивирует аксиоматическое построение этого курса, помогает учащимся осознать смысл их деятельности на уроках геометрии в старших классах. Данная программа действительно несет в своем содержании большой потенциал для формирования геометрических представлений учащихся, развития их пространственного и логического мышления, готовит учеников к дальнейшему изучению геометрии.[петерсон]

 

программа призвана обеспечивать развитие пространственного мышления детей. Здесь выполнение геометрических заданий требует активного использования приемов умственной деятельности; установления соответствия между предметной геометрической моделью и ее изображением, что способствует развитию пространственного мышления ребенка.

 

При выполнении геометрических заданий формируются навыки работы с линейкой, циркулем, угольником. Уже в первом классе учащиеся знакомятся с разными видами линий, учатся их сравнивать, группировать, чертить. фигур, конструирование из разверток, подсчет количества кубиков в конструкциях, что позволяет развить пространственное мышление. Развитию логического мышления способствуют задания на группировку, сравнение, рассуждение. Так же дети знакомятся с симметрией, что в некоторых других программах упускается.[истомина]

 


0 комментов

26 марта 2017

Вставить свои 5 копеек